12. Укажите номер утверждения, которое является истинным высказыванием. 1) Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую. 2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Решение:

Давайте проанализируем каждое утверждение:

1. Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую. Это утверждение неверно. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. Единственная прямая проводится через две заданные точки.
2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Это утверждение неверно. Прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является квадратом. Хотя квадрат — это частный случай прямоугольника, утверждение говорит о существовании такого прямоугольника, что верно. Однако, если рассматривать общее определение прямоугольника (углы равны 90 градусов, противоположные стороны равны), то диагонали не обязательно перпендикулярны. Утверждение 2 становится истинным, если речь идет о квадрате. Учитывая, что дан выбор из трех утверждений, и другие могут быть более однозначно истинными или ложными, а также из контекста заданий, скорее всего, имеется в виду общий случай прямоугольника. Если бы утверждение было "Существует квадрат, диагонали которого взаимно перпендикулярны", то оно было бы истинным. В данном виде, оно не является универсально истинным для всех прямоугольников.
3. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания. Это утверждение неверно. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а не параллельна.

Пересмотрев утверждение 2, можно сказать, что оно истинно, так как квадрат является частным случаем прямоугольника, и у квадрата диагонали взаимно перпендикулярны. Однако, если сравнивать с другими утверждениями, то первое и третье однозначно ложны. В математике часто такие формулировки трактуются как существование объекта с данными свойствами. Но формулировка "Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны" эквивалентна "Существует квадрат".

Давайте перепроверим стандартные геометрические аксиомы и теоремы.

Утверждение 1: Неверно. Через точку проходит бесконечное множество прямых.

Утверждение 3: Неверно. Касательная и радиус в точке касания перпендикулярны.

Утверждение 2: Рассмотрим прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. То есть AO = BO = CO = DO. Рассмотрим треугольник AOB. Если диагонали перпендикулярны, то угол AOB = 90 градусов. Тогда треугольник AOB — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, AB = BO * sqrt(2). Аналогично, в равнобедренном треугольнике BOC, если угол BOC = 90 градусов, то BC = BO * sqrt(2). Значит, AB = BC. Это означает, что прямоугольник ABCD является квадратом. Квадрат — это частный случай прямоугольника. Таким образом, утверждение "Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны" является истинным, так как такой прямоугольник существует (это квадрат).

Ответ: 2