12. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 6√5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами \(6\sqrt{5}\), \(6\sqrt{5}\) и основанием 12.

Высота боковой грани делит основание пополам. По теореме Пифагора:

\(h=\sqrt{(6\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{180-36}=12\).

Площадь одной боковой грани: \(S_1=\frac12\cdot12\cdot12=72\).

У правильной четырёхугольной пирамиды четыре боковые грани, поэтому:

\(S_{\text{бок}}=4\cdot72=288\).

Ответ: 288.