12. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 12, а боковое ребро равно \(6\sqrt{5}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами \(6\sqrt{5}, 6\sqrt{5}, 12\). Его высота делит основание пополам, поэтому половина основания равна 6.

По теореме Пифагора высота боковой грани равна \(l=\sqrt{(6\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{180-36}=12\).

Площадь одной грани: \(S_1=\frac12\cdot12\cdot12=72\). Таких граней четыре, следовательно, \(S_{бок}=4\cdot72=288\).

Ответ: 288.