12. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 18, а боковое ребро равно \(\sqrt{106}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников.

Проведём высоту боковой грани. Она делит основание треугольника пополам, поэтому половина стороны основания равна:

\[\frac{18}{2}=9.\]

По теореме Пифагора найдём высоту боковой грани:

\[h=\sqrt{(\sqrt{106})^2-9^2}=\sqrt{106-81}=\sqrt{25}=5.\]

Площадь одной боковой грани:

\[S_1=\frac12\cdot18\cdot5=45.\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}}=4\cdot45=180.\]

Ответ: 180.