12. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3√10. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 6 и боковыми сторонами \(3\sqrt{10}\).

Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому половина основания равна 3 м.

По теореме Пифагора найдём апофему пирамиды:

\(h = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 - 3^2} = \sqrt{90 - 9} = \sqrt{81} = 9\).

Периметр квадратного основания: \(P = 4 \cdot 6 = 24\).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

\(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}Ph = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108\).

Ответ: 108.