12. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно \(3\sqrt{37}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(3\sqrt{37}\) и основанием \(6\).

Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому по теореме Пифагора:

\(h=\sqrt{(3\sqrt{37})^2-3^2}=\sqrt{333-9}=\sqrt{324}=18\).

Площадь одной боковой грани:

\(S_1=\frac12\cdot6\cdot18=54\).

У пирамиды четыре одинаковые боковые грани:

\(S_{\text{бок}}=4\cdot54=216\).

Ответ: 216.