12. В правильной шестигранной пирамиде сторона основания равна 18, а боковое ребро равно \(\sqrt{106}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами \(\sqrt{106},\sqrt{106},18\). Высота грани делит основание пополам.

По теореме Пифагора высота боковой грани равна \(l=\sqrt{(\sqrt{106})^2-9^2}=\sqrt{106-81}=5\).

Площадь одной грани: \(\frac12\cdot18\cdot5=45\). Таких граней шесть, поэтому площадь боковой поверхности равна \(6\cdot45=270\).

Ответ: 270.