12) В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно \(\sqrt{74}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(\sqrt{74}\) и основанием 10.

Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому по теореме Пифагора:

\(h = \sqrt{(\sqrt{74})^2 - 5^2} = \sqrt{74 - 25} = \sqrt{49} = 7\).

Площадь одной боковой грани:

\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 = 35\).

У правильного шестиугольника 6 боковых граней, поэтому:

\(S_{\text{бок}} = 6 \cdot 35 = 210\).

Ответ: 210.