12. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 18, а боковое ребро равно √106. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность состоит из 6 одинаковых равнобедренных треугольников с боковыми сторонами \(\sqrt{106}\) и основанием 18.

Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому по теореме Пифагора:

\(h=\sqrt{(\sqrt{106})^2-9^2}=\sqrt{106-81}=\sqrt{25}=5\).

Площадь одной боковой грани: \(S_1=\frac12\cdot18\cdot5=45\).

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=6\cdot45=270\).

Ответ: 270.