12. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно \(\sqrt{97}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами \(\sqrt{97},\sqrt{97},8\). Высота грани делит основание пополам, получая отрезки длиной 4.

По теореме Пифагора высота боковой грани равна \(l=\sqrt{(\sqrt{97})^2-4^2}=\sqrt{97-16}=9\).

Площадь одной грани: \(\frac12\cdot8\cdot9=36\). У правильной шестиугольной пирамиды шесть одинаковых боковых граней, поэтому площадь боковой поверхности равна \(6\cdot36=216\).

Ответ: 216.