12. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно \(3\sqrt{26}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковые грани правильной треугольной пирамиды — три равных равнобедренных треугольника со сторонами \(3\sqrt{26}\), \(3\sqrt{26}\) и 6.

Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому её длина равна:

\(h=\sqrt{(3\sqrt{26})^2-3^2}=\sqrt{234-9}=\sqrt{225}=15\).

Площадь одной боковой грани:

\(S_1=\frac12\cdot6\cdot15=45\).

Площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}}=3\cdot45=135\).

Ответ: 135.