12. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно \(4\sqrt{10}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами \(4\sqrt{10}\), \(4\sqrt{10}\) и основанием 8.

Высота боковой грани делит основание пополам. По теореме Пифагора:

\(h=\sqrt{(4\sqrt{10})^2-4^2}=\sqrt{160-16}=\sqrt{144}=12\).

Площадь одной боковой грани:

\(S_1=\frac12\cdot8\cdot12=48\) см².

У правильной треугольной пирамиды три боковые грани, поэтому:

\(S_{\text{бок}}=3\cdot48=144\) см².

Ответ: 144 см².