12. В равнобедренном треугольнике ABC медиана ВМ, проведённая к основанию, равна 3, а tg A = 3/4. Найдите боковую сторону треугольника ABC.

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный.
• BM — медиана к основанию AC, BM = 3.
• \[ \operatorname{tg} A = \frac{3}{4} \]

Найти: AB

Решение:

1. Свойства равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, BM ⊥ AC.
2. Треугольник ABM: Треугольник ABM — прямоугольный, так как BM — высота.
3. tg A: В прямоугольном треугольнике ABM:

\[ \operatorname{tg} A = \frac{BM}{AM} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{3}{4} = \frac{3}{AM} \]

Отсюда находим AM:

\[ AM = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4 \]

Находим боковую сторону AB:

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABM:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]

\[ AB^2 = 4^2 + 3^2 \]

\[ AB^2 = 16 + 9 \]

\[ AB^2 = 25 \]

\[ AB = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: 5