12. В ромбе ABCD диагональ AC = 2√51, диагональ BD = 14. Найдите синус угла ВАС.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

1. \( AO = \frac{AC}{2} = \frac{2\]51}{2} = \]51 \).
2. \( BO = \frac{BD}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOB \). По теореме Пифагора: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 = (\sqrt{51})^2 + 7^2 = 51 + 49 = 100 \).
4. \( AB = \sqrt{100} = 10 \).
5. Синус угла \( \text{BAC} \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle AOB \) равен отношению противолежащего катета \( BO \) к гипотенузе \( AB \).
6. \( \text{sin}(\angle BAC) = \frac{BO}{AB} = \frac{7}{10} \).

Ответ: 0,7.