12. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 8, tg ∠BAC = √5/2. Найдите ∠B.

Так как \(AB=BC\), треугольник равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому \(\angle BAC=\angle ACB\). Проведём высоту из вершины \(B\) к основанию. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам, значит половина основания равна 4.

Обозначим \(\angle BAC=\alpha\). Тогда \(\tan\alpha=\frac{\sqrt5}{2}\). В прямоугольном треугольнике с катетами 4 и высотой \(h\):

\(\tan\alpha=\frac{h}{4}=\frac{\sqrt5}{2}\), откуда \(h=2\sqrt5\).

Гипотенуза \(AB=\sqrt{4^2+(2\sqrt5)^2}=6\). Поэтому \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{6}=\frac{\sqrt5}{3}\), а \(\cos\alpha=\frac{4}{6}=\frac23\).

Угол при вершине \(B\) равен \(180^\circ-2\alpha\). Используем формулу косинуса двойного угла:

\(\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac49-\frac59=-\frac19\).

Следовательно, \(\cos\angle B=-\cos(2\alpha)=\frac19\), поэтому \(\angle B=\arccos\frac19\approx83.6^\circ\).

Ответ: \(\arccos\frac19\approx83.6^\circ\).