12. В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что HC=12 см и BC=BM. Найдите ∠A.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике BHC, \( BH = HC \tan(\angle C) \) и \( BC = \frac{HC}{\cos(\angle C)} \).

2. Так как BM - медиана, то \( AM = MC \).

3. Дано \( BC = BM \). Это означает, что треугольник BCM является равнобедренным.

4. В равнобедренном треугольнике BCM, углы при основании равны: \( \angle MBC = \angle MCB = \angle C \).

5. В прямоугольном треугольнике BHC, \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C \).

6. В треугольнике ABC: \( \angle A = 90^{\circ} - \angle C \).

7. Из \( BC = BM \) и \( \angle MBC = \angle C \), мы можем использовать теорему синусов в треугольнике BCM:

\( \frac{BM}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} \). Так как \( BC = BM \), то \( \sin(\angle C) = \sin(\angle BMC) \).

Следовательно, \( \angle C = \angle BMC \) или \( \angle C + \angle BMC = 180^{\circ} \).

Если \( \angle C = \angle BMC \), то \( \angle MBC = 180^{\circ} - 2\angle C \). Но \( \angle MBC = \angle C \), следовательно \( \angle C = 180^{\circ} - 2\angle C \) => \( 3\angle C = 180^{\circ} \) => \( \angle C = 60^{\circ} \).

Если \( \angle C = 60^{\circ} \), то \( \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Проверим второй случай: \( \angle C + \angle BMC = 180^{\circ} \). В треугольнике BCM, \( \angle MBC = 180^{\circ} - \angle C - \angle BMC \). Так как \( \angle MBC = \angle C \), то \( \angle C = 180^{\circ} - \angle C - (180^{\circ} - \angle C) \) => \( \angle C = 180^{\circ} - \angle C - 180^{\circ} + \angle C \) => \( \angle C = 0 \), что невозможно.

Таким образом, \( \angle C = 60^{\circ} \), и \( \angle A = 30^{\circ} \).

Ответ: 30°.