13. В прямоугольном треугольнике градусные меры внешних углов относятся как 8:5. Найдите меньший острый угол этого треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Внешние углы при вершинах острого угла равны смежным с ними острым углам. Пусть острые углы треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

2. Внешние углы при вершинах острого угла равны \( 180^{\circ} - \alpha \) и \( 180^{\circ} - \beta \).

3. Внешний угол при вершине прямого угла равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

4. Отношение внешних углов: \( (180^{\circ} - \alpha) : (180^{\circ} - \beta) : 90^{\circ} = 8:5:x \). Это не так, т.к. дано 8:5, что подразумевает отношение только двух углов. Скорее всего, имеется в виду отношение внешних углов при острых вершинах.

5. Пусть внешние углы при острых вершинах относятся как 8:5. \( (180^{\circ} - \alpha) : (180^{\circ} - \beta) = 8:5 \).

6. Подставим \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \).

\( (180^{\circ} - \alpha) : (180^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha)) = 8:5 \)

\( (180^{\circ} - \alpha) : (90^{\circ} + \alpha) = 8:5 \)

\( 5(180^{\circ} - \alpha) = 8(90^{\circ} + \alpha) \)

\( 900^{\circ} - 5\alpha = 720^{\circ} + 8\alpha \)

\( 900^{\circ} - 720^{\circ} = 8\alpha + 5\alpha \)

\( 180^{\circ} = 13\alpha \)

\( \alpha = \frac{180^{\circ}}{13} \).

7. Теперь найдем \( \beta \):

\( \beta = 90^{\circ} - \frac{180^{\circ}}{13} = \frac{1170^{\circ} - 180^{\circ}}{13} = \frac{990^{\circ}}{13} \).

8. Меньший острый угол - это \( \alpha = \frac{180^{\circ}}{13} \).

Проверка:

Внешние углы: \( 180^{\circ} - \frac{180^{\circ}}{13} = \frac{180 \times 12}{13} = \frac{2160^{\circ}}{13} \)

\( 180^{\circ} - \frac{990^{\circ}}{13} = \frac{1170^{\circ}}{13} \)

Отношение: \( \frac{2160}{13} : \frac{1170}{13} = 2160 : 1170 = 216 : 117 = 8 \times 27 : \frac{117}{9} \times 9 = 8 \times 27 : 13 \times 9 \) - не 8:5.

Возможно, имеется в виду отношение острых углов, а не внешних.

Пусть внешние углы относятся как 8:5. Это могут быть углы при вершинах острого угла (180-α) и (180-β) или внешний угол при прямой вершине (90) и один из внешних углов при острой вершине.

Случай 1: Отношение внешних углов при острых вершинах.

Пусть \( 180^{\circ} - \alpha = 8x \) и \( 180^{\circ} - \beta = 5x \).

\( \alpha = 180^{\circ} - 8x \)

\( \beta = 180^{\circ} - 5x \)

\( \alpha + \beta = 90^{\circ} \)

\( (180^{\circ} - 8x) + (180^{\circ} - 5x) = 90^{\circ} \)

\( 360^{\circ} - 13x = 90^{\circ} \)

\( 13x = 270^{\circ} \)

\( x = \frac{270^{\circ}}{13} \).

\( \alpha = 180^{\circ} - 8 \times \frac{270^{\circ}}{13} = 180^{\circ} - \frac{2160^{\circ}}{13} = \frac{2340^{\circ} - 2160^{\circ}}{13} = \frac{180^{\circ}}{13} \).

\( \beta = 180^{\circ} - 5 \times \frac{270^{\circ}}{13} = 180^{\circ} - \frac{1350^{\circ}}{13} = \frac{2340^{\circ} - 1350^{\circ}}{13} = \frac{990^{\circ}}{13} \).

\( \alpha = \frac{180}{13} \approx 13.85^{\circ} \) и \( \beta = \frac{990}{13} \approx 76.15^{\circ} \).

Меньший острый угол \( \alpha = \frac{180}{13}^{\circ} \).

Случай 2: Отношение внешнего угла при прямом угле к внешнему углу при остром.

Пусть \( 90^{\circ} : (180^{\circ} - \alpha) = 8:5 \).

\( 5 \times 90^{\circ} = 8(180^{\circ} - \alpha) \)

\( 450^{\circ} = 1440^{\circ} - 8\alpha \)

\( 8\alpha = 1440^{\circ} - 450^{\circ} = 990^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{990^{\circ}}{8} = \frac{495^{\circ}}{4} = 123.75^{\circ} \). Это больше 90°, не может быть острым углом.

Случай 3: Отношение внешних углов при острых вершинах равно 5:8.

Пусть \( 180^{\circ} - \alpha = 5x \) и \( 180^{\circ} - \beta = 8x \).

\( \alpha = 180^{\circ} - 5x \)

\( \beta = 180^{\circ} - 8x \)

\( \alpha + \beta = 90^{\circ} \)

\( (180^{\circ} - 5x) + (180^{\circ} - 8x) = 90^{\circ} \)

\( 360^{\circ} - 13x = 90^{\circ} \)

\( 13x = 270^{\circ} \)

\( x = \frac{270^{\circ}}{13} \).

\( \alpha = 180^{\circ} - 5 \times \frac{270^{\circ}}{13} = 180^{\circ} - \frac{1350^{\circ}}{13} = \frac{2340^{\circ} - 1350^{\circ}}{13} = \frac{990^{\circ}}{13} \).

\( \beta = 180^{\circ} - 8 \times \frac{270^{\circ}}{13} = 180^{\circ} - \frac{2160^{\circ}}{13} = \frac{2340^{\circ} - 2160^{\circ}}{13} = \frac{180^{\circ}}{13} \).

Меньший острый угол \( \beta = \frac{180}{13}^{\circ} \).

Случай 4: Один из внешних углов при острых вершинах равен 90.

Пусть \( 180^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} \) => \( \alpha = 90^{\circ} \). Не подходит.

Рассмотрим, что внешние углы, это углы, смежные с углами треугольника.

Пусть острые углы треугольника \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Внешние углы: \( 180^{\circ} - \alpha \) и \( 180^{\circ} - \beta \).

Отношение \( (180^{\circ} - \alpha) : (180^{\circ} - \beta) = 8:5 \).

\( 5(180^{\circ} - \alpha) = 8(180^{\circ} - \beta) \)

\( 900^{\circ} - 5\alpha = 1440^{\circ} - 8\beta \)

\( 8\beta - 5\alpha = 540^{\circ} \)

Так как \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \), подставляем:

\( 8(90^{\circ} - \alpha) - 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 720^{\circ} - 8\alpha - 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 720^{\circ} - 13\alpha = 540^{\circ} \)

\( 13\alpha = 720^{\circ} - 540^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{180^{\circ}}{13} \).

\( \beta = 90^{\circ} - \frac{180^{\circ}}{13} = \frac{1170^{\circ} - 180^{\circ}}{13} = \frac{990^{\circ}}{13} \).

Меньший острый угол \( \alpha = \frac{180^{\circ}}{13} \).

Значение \( \frac{180}{13} \approx 13.85^{\circ} \).

Проверим, что если \( \alpha = \frac{180^{\circ}}{13} \), то \( 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} - \frac{180^{\circ}}{13} = \frac{2160^{\circ}}{13} \).

\( \beta = \frac{990^{\circ}}{13} \), то \( 180^{\circ} - \beta = 180^{\circ} - \frac{990^{\circ}}{13} = \frac{1350^{\circ}}{13} \).

Отношение: \( \frac{2160}{13} : \frac{1350}{13} = 2160 : 1350 = 216 : 135 \). Делим на 27: \( 8 : 5 \).

Это соответствует условию.

Меньший острый угол равен \( \frac{180}{13}^{\circ} \).

Ответ: \( \frac{180}{13}^{\circ} \).