12. Вычислите: \( \frac{7^{7} \cdot 7^{2}}{(7^{3})^{2}} \).

Решение:

Используем свойства степеней:

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Применим эти свойства к нашему выражению:

\[ \frac{7^{7} \cdot 7^{2}}{(7^{3})^{2}} = \frac{7^{7+2}}{7^{3 \cdot 2}} = \frac{7^{9}}{7^{6}} = 7^{9-6} = 7^{3} \]\[ 7^{3} = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343 \]

Ответ: 343.