Ответ:

1) Выбор гласной в корне -гар-/-гор- зависит от ударения: под ударением пишется А, без ударения — О. 2) В корнях -кас-/-кос- и -лаг-/-лож- выбор зависит от наличия после корня суффикса А: перед ним пишутся А и А соответственно, без него — О и О.

1) Выбор зависит от ударения2) Выбор зависит от суффикса А
огарок
горючее
угарный
выгорать
загорают
отгорать (вероятное восстановление обрезанного слова)
сгорать
касание
неукоснительно
прилагательное
приложение
прилагать
положиться
прикосновение
положу
полагание
прикоснувшись
предложение
касательная
предполагать
предположение

В слове «неукоснительно» пишется О: после корня нет суффикса А. Окончание слова после «отг…» обрезано; «отгорать» — вероятное прочтение по контексту. Для точного подтверждения нужен снимок этого фрагмента.