124. Постройте график функции и опишите ее свойства: a) y = 1/3x² - 4x + 4; б) y = -1/4x² + x - 1; в) y = x² + 3x.

Привет, ребята! Давайте разберём эти задания по порядку. Нам нужно построить графики функций и описать их свойства. Все эти функции являются квадратичными, а значит их графиками будут параболы. **a) y = 1/3x² - 4x + 4** 1. **Определим направление ветвей:** Коэффициент при x² равен 1/3, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. 2. **Найдем вершину параболы:** Координата x вершины (x_в) вычисляется по формуле: \( x_в = -b / 2a \). В нашем случае a = 1/3, b = -4. \( x_в = -(-4) / (2 * (1/3)) = 4 / (2/3) = 4 * (3/2) = 6 \) Координата y вершины (y_в) вычисляется, подставляя x_в в функцию: \( y_в = 1/3 * 6^2 - 4 * 6 + 4 = 1/3 * 36 - 24 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8 \) Таким образом, вершина параболы находится в точке (6, -8). 3. **Найдем точки пересечения с осью y:** Для этого подставим x = 0 в уравнение: y = 1/3 * 0² - 4 * 0 + 4 = 4. Парабола пересекает ось y в точке (0, 4). 4. **Найдем точки пересечения с осью x:** Для этого приравняем функцию к нулю: 1/3x² - 4x + 4 = 0. Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: x² - 12x + 12 = 0. Найдем дискриминант: D = (-12)² - 4 * 1 * 12 = 144 - 48 = 96. Так как дискриминант больше нуля, есть два корня, которые находятся по формуле: \(x = (12 \pm \sqrt{96})/2\). x ≈ 1.099 и x ≈ 10.9. Парабола пересекает ось x приблизительно в точках (1.1, 0) и (10.9, 0). 5. **Оси симетрии:** x = 6 6. **График:** Постройте параболу с вершиной в точке (6, -8), проходящую через точки (0, 4), (1.1, 0) и (10.9, 0) и ветвями, направленными вверх. **Свойства:** Парабола имеет минимальное значение y = -8. Функция возрастает от x = 6 до бесконечности и убывает от минус бесконечности до x = 6. **б) y = -1/4x² + x - 1** 1. **Определим направление ветвей:** Коэффициент при x² равен -1/4, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз. 2. **Найдем вершину параболы:** x_в = -b / 2a = -1 / (2 * (-1/4)) = -1 / (-1/2) = 2 y_в = -1/4 * 2² + 2 - 1 = -1/4 * 4 + 2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0. Вершина параболы находится в точке (2, 0). 3. **Найдем точки пересечения с осью y:** y = -1/4 * 0² + 0 - 1 = -1. Парабола пересекает ось y в точке (0, -1). 4. **Найдем точки пересечения с осью x:** -1/4x² + x - 1 = 0. Умножим на -4: x² - 4x + 4 = 0. Дискриминант: D = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0. Один корень: x = 4/2 = 2. Парабола касается оси x в точке (2, 0). 5. **Оси симетрии:** x = 2 6. **График:** Постройте параболу с вершиной в точке (2, 0), проходящую через точку (0, -1) и ветвями, направленными вниз. **Свойства:** Парабола имеет максимальное значение y = 0. Функция возрастает от минус бесконечности до x = 2 и убывает от x = 2 до бесконечности. **в) y = x² + 3x** 1. **Определим направление ветвей:** Коэффициент при x² равен 1, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. 2. **Найдем вершину параболы:** x_в = -b / 2a = -3 / (2 * 1) = -3/2 = -1.5 y_в = (-1.5)² + 3 * (-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25. Вершина параболы находится в точке (-1.5, -2.25). 3. **Найдем точки пересечения с осью y:** y = 0² + 3 * 0 = 0. Парабола пересекает ось y в точке (0, 0). 4. **Найдем точки пересечения с осью x:** x² + 3x = 0. x(x + 3) = 0. x = 0 или x + 3 = 0, то есть x = -3. Парабола пересекает ось x в точках (0, 0) и (-3, 0). 5. **Оси симетрии:** x = -1.5 6. **График:** Постройте параболу с вершиной в точке (-1.5, -2.25), проходящую через точки (0, 0) и (-3, 0) и ветвями, направленными вверх. **Свойства:** Парабола имеет минимальное значение y = -2.25. Функция возрастает от x = -1.5 до бесконечности и убывает от минус бесконечности до x = -1.5. Итак, мы построили графики всех трёх функций и описали их свойства. Помните, что важными элементами для построения графика параболы являются координаты вершины, направление ветвей, точки пересечения с осями координат и ось симметрии. Надеюсь, это объяснение было понятным! Если возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать. Удачи!