125. Найдите корни уравнения: log^2_{3}x + 6 log_{3}x = -9

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим. Сделаем замену переменной, чтобы упростить его.

Пусть \( y = \log_3 x \).

Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + 6y = -9 \)

Перенесём все члены в левую часть:

\( y^2 + 6y + 9 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Можно заметить, что это полный квадрат:

\( (y+3)^2 = 0 \)

Отсюда следует:

\( y+3 = 0 \)

\( y = -3 \)

Теперь вернёмся к исходной переменной, подставив \( y = \log_3 x \):

\( \log_3 x = -3 \)

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 3:

\( \log_3 x = \log_3 (3^{-3}) \)

\( \log_3 x = \log_3 \left( \frac{1}{27} \right) \)

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( x = \frac{1}{27} \)

Проверим условие существования логарифма: \( x > 0 \). \( \frac{1}{27} > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: \(\frac{1}{27}\)