13. а) Проверьте, верны ли равенства: 1/(4 · 5) = 1/4 − 1/5; 1/(5 · 6) = 1/5 − 1/6; 1/(6 · 7) = 1/6 − 1/7. б) Найдите значение выражения 1/(7 · 8) + 1/(8 · 9) + 1/(9 · 10), заменяя каждую дробь вида 1/[n(n + 1)] разностью дробей 1/n и 1/(n + 1).

а) Проверим каждое равенство:

1/(4 · 5) = 1/20, а 1/4 − 1/5 = 5/20 − 4/20 = 1/20.

1/(5 · 6) = 1/30, а 1/5 − 1/6 = 6/30 − 5/30 = 1/30.

1/(6 · 7) = 1/42, а 1/6 − 1/7 = 7/42 − 6/42 = 1/42.

Все три равенства верны.

б) Применим равенство 1/[n(n + 1)] = 1/n − 1/(n + 1):

1/(7 · 8) + 1/(8 · 9) + 1/(9 · 10) = (1/7 − 1/8) + (1/8 − 1/9) + (1/9 − 1/10).

Сократим противоположные слагаемые:

1/7 − 1/10 = 10/70 − 7/70 = 3/70.

Ответ: а) все равенства верны; б) 3/70.