13. а) Решите уравнение 2 sin(x + π/4) − cos 2x = √2 cos x − 1. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; −3π/2].

а) Раскроем синус суммы и используем формулу \(\cos 2x=1-2\sin^2x\):

\(2\sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x\), поэтому уравнение принимает вид \(\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-(1-2\sin^2x)=\sqrt{2}\cos x-1\).

Сокращаем одинаковые слагаемые и раскладываем на множители: \(\sqrt{2}\sin x+2\sin^2x=0\), то есть \(\sin x(\sqrt{2}+2\sin x)=0\).

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\sqrt{2}/2\). Общее решение: \(x=\pi k\) или \(x=-\pi/4+2\pi k\) или \(x=5\pi/4+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) На отрезке \([-3\pi;-3\pi/2]\) из решений вида \(x=\pi k\) подходят \(-3\pi\) и \(-2\pi\). Из решений вида \(x=-\pi/4+2\pi k\) подходит \(-9\pi/4\), а из решений вида \(x=5\pi/4+2\pi k\) — \(-11\pi/4\).

Ответ: −3π, −11π/4, −9π/4, −2π.