13. Чтобы открылись ворота в сказочный город Числоград, ребятам надо было на табло при въезде: зажечь числа в свободных клетках так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трёх соседних клетках, равнялась 20. На табло 9 клеток: 8, □, □, □, □, □, □, □, 5.

Обозначим числа в клетках через \(a_1, a_2, \ldots, a_9\). Для любых трёх соседних клеток сумма равна 20:

\(a_1+a_2+a_3=20\), \(a_2+a_3+a_4=20\). Вычитая равенства, получаем \(a_1=a_4\).

Так же получаем периодичность через три клетки: \(a_1=a_4=a_7\), \(a_2=a_5=a_8\), \(a_3=a_6=a_9\).

Так как первая клетка содержит 8, а девятая — 5, имеем:

\(a_1=a_4=a_7=8\), \(a_3=a_6=a_9=5\).

Теперь найдём среднее число: \(8+a_2+5=20\), поэтому \(a_2=7\). Значит, \(a_5=a_8=7\).

Готовая последовательность:

Проверка: каждая тройка соседних чисел имеет сумму \(8+7+5=20\).

Ответ: 8, 7, 5, 8, 7, 5, 8, 7, 5.