13. Дано: ∪AB : ∪BC : ∪AC = 2 : 3 : 4, R = 9 (рис. 50). Найти: Длину дуги BC.

Дано:

• Отношение дуг: \[ \cup AB : \cup BC : \cup AC = 2 : 3 : 4 \]
• R = 9 (радиус окружности)
• (рис. 50)

Найти: Длину дуги BC.

Решение:

1. Полная окружность: Сумма всех дуг, составляющих окружность, равна 360°.
2. Находим доли: Отношение 2:3:4 означает, что всего есть 2 + 3 + 4 = 9 частей.
3. Величина каждой части: \[ \frac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ} \]
4. Значения дуг:
• \[ \cup AB = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ} \]
• \[ \cup BC = 3 \times 40^{\circ} = 120^{\circ} \]
• \[ \cup AC = 4 \times 40^{\circ} = 160^{\circ} \]
5. Проверка: \[ 80^{\circ} + 120^{\circ} + 160^{\circ} = 360^{\circ} \]
6. Длина дуги: Формула для длины дуги: \[ L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 2 \pi R \], где \[ \alpha \] — центральный угол (или величина дуги в градусах).
7. Длина дуги BC:
• \[ L_{BC} = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi \times 9 \]
• \[ L_{BC} = \frac{1}{3} \times 18 \pi \]
• \[ L_{BC} = 6 \pi \]

Ответ: 6π