13. Многогранники и тела вращения. Изображение основных многогранников и круглых тел. Выполнение рисунков по условиям задач. Вычисление длин, расстояний, объемов и площадей. 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О-центр основания, S- вершина. Известно, что SO=15, а BD=16. Найдите длину отрезка SC. 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 45π, а диаметр основания – 9. Найдите высоту цилиндра. 3. В правильной треугольной пирамиде SABС М – середина ребра АВ, S- вершина. Известно, что SM=12, а площадь боковой поверхности равна 108. Найдите длину отрезка ВС. 4. Высота конуса равна10, а диаметр основания – 48.Найдите образующую конуса.

Решение:

1. Четырёхугольная пирамида SABCD

Дано:

• SO = 15 (высота пирамиды)
• BD = 16 (диагональ основания)

Найти: SC (боковое ребро)

Решение:

1. В основании пирамиды лежит квадрат (поскольку она правильная). Диагонали квадрата равны и пересекаются в одной точке.
2. Точка О – центр основания, значит, AO = BO = CO = DO.
3. Диагональ BD = 16, следовательно, BO = OD = 16 / 2 = 8.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. SO = 15, OC = 8.
5. По теореме Пифагора: \( SC^2 = SO^2 + OC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 \).
6. \( SC = \sqrt{289} = 17 \).

Ответ: 17

2. Цилиндр

Дано:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 45\pi \)
• Диаметр основания \( d = 9 \)

Найти: h (высоту цилиндра)

Решение:

1. Формула площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2\pi rh \), где r – радиус основания, h – высота.
2. Радиус основания \( r = d / 2 = 9 / 2 = 4.5 \).
3. Подставим известные значения в формулу: \( 45\pi = 2\pi \cdot 4.5 \cdot h \).
4. \( 45\pi = 9\pi h \).
5. \( h = 45\pi / 9\pi = 5 \).

Ответ: 5

3. Треугольная пирамида SABС

Дано:

• M – середина ребра AB.
• SM = 12 (апофема)
• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 108 \)

Найти: BC (сторону основания)

Решение:

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: \( S_{бок} = p \cdot SM \).
2. Полупериметр основания \( p = (AB + BC + AC) / 2 \). Так как пирамида правильная, в основании лежит равносторонний треугольник, AB = BC = AC.
3. Пусть сторона основания равна \( a \). Тогда \( p = (3a) / 2 \).
4. Подставим известные значения: \( 108 = (3a / 2) \cdot 12 \).
5. \( 108 = 18a \).
6. \( a = 108 / 18 = 6 \).
7. Следовательно, сторона основания BC = 6.

Ответ: 6

4. Конус

Дано:

• Высота конуса \( h = 10 \)
• Диаметр основания \( d = 48 \)

Найти: l (образующую конуса)

Решение:

1. Радиус основания \( r = d / 2 = 48 / 2 = 24 \).
2. Образующая конуса, высота и радиус основания связаны теоремой Пифагора: \( l^2 = h^2 + r^2 \).
3. Подставим известные значения: \( l^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 \).
4. \( l = \sqrt{676} = 26 \).

Ответ: 26