13. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3√3.

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)

1. Найдём площадь основания \( S_{осн} \):

Пирамида правильная четырёхугольная, значит, в основании квадрат.

\( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \)

2. Найдём высоту пирамиды \( h \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), половиной диагонали основания \( d/2 \) и боковым ребром \( l = 3\sqrt{3} \).

Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).

Половина диагонали \( d/2 = 3\sqrt{2} \).

По теореме Пифагора: \( h^2 + (d/2)^2 = l^2 \)

\( h^2 + (3\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 \)

\( h^2 + 18 = 27 \)

\( h^2 = 27 - 18 \)

\( h^2 = 9 \)

\( h = 3 \)

3. Вычислим объём пирамиды:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 = 36 \)

Ответ: 36