13. Найдите углы тупоугольного равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2: 5.

Решение:

Пусть углы треугольника равны \( \alpha, \beta, \gamma \). Треугольник тупоугольный и равнобедренный. В равнобедренном треугольнике два угла равны.

Возможны два случая:

1. Два равных угла являются острыми. Пусть \( \alpha = \beta \). Тогда \( \alpha : \gamma = 2:5 \) или \( \alpha : \gamma = 5:2 \).
• Случай 1.1: \( \alpha : \gamma = 2:5 \). Пусть \( \alpha = 2x \), \( \gamma = 5x \). Тогда \( \alpha = \beta = 2x \). Сумма углов треугольника: \( 2x + 2x + 5x = 180^{\circ} \) => \( 9x = 180^{\circ} \) => \( x = 20^{\circ} \). Углы: \( 40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ} \). Треугольник тупоугольный (\( 100^{\circ} > 90^{\circ} \)) и равнобедренный (\( 40^{\circ} = 40^{\circ} \)). Этот случай подходит.
• Случай 1.2: \( \alpha : \gamma = 5:2 \). Пусть \( \alpha = 5x \), \( \gamma = 2x \). Тогда \( \alpha = \beta = 5x \). Сумма углов треугольника: \( 5x + 5x + 2x = 180^{\circ} \) => \( 12x = 180^{\circ} \) => \( x = 15^{\circ} \). Углы: \( 75^{\circ}, 75^{\circ}, 30^{\circ} \). Все углы острые, что противоречит условию «тупоугольный». Этот случай не подходит.
2. Один из углов равен тупому углу. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только один угол. Значит, два равных угла — острые. Этот случай уже рассмотрен выше.
3. Один из углов является тупым, а другой равный ему является острым. Это невозможно для равнобедренного треугольника.
4. Два равных угла являются тупыми. Это невозможно, так как сумма углов треугольника равна 180°.
5. Один из равных углов равен тупому, а другой — нет. Это невозможно, так как равные углы должны быть одинаковыми.
6. Два угла относятся как 2:5, и один из них является тупым.
• Случай 2.1: Тупой угол — больший из двух, т.е. 5x. Пусть \( \alpha = 2x \) и \( \gamma = 5x \). Так как треугольник равнобедренный, то есть два равных угла.
• a) \( \alpha = \beta = 2x \). Тогда \( 2x + 2x + 5x = 180^{\circ} \) => \( 9x = 180^{\circ} \) => \( x = 20^{\circ} \). Углы: \( 40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ} \). Тупой угол 100°, два острых по 40°. Это подходит.
• b) \( \alpha = 5x \) и \( \beta = 2x \). Тогда \( 5x + 2x + \gamma = 180^{\circ} \). Если \( \gamma \) — тупой, то \( \gamma > 90^{\circ} \). Также, \( \alpha \) и \( \beta \) должны быть равны, что не так.
• c) \( \alpha = 5x \) и \( \gamma = 2x \). А \( \beta = 5x \) (тогда \( \alpha = \beta = 5x \)). \( 5x + 5x + 2x = 180^{\circ} \) => \( 12x = 180^{\circ} \) => \( x = 15^{\circ} \). Углы: \( 75^{\circ}, 75^{\circ}, 30^{\circ} \). Все углы острые, не подходит.
• Случай 2.2: Тупой угол — меньший из двух, т.е. 2x. Это невозможно, так как 2x < 5x, и если 2x тупой, то 5x будет еще тупее, что невозможно.

Таким образом, единственный подходящий вариант — углы 40°, 40°, 100°.

Ответ: 40°, 40°, 100°.