14. В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 8:5. Найдите меньший острый угол этого треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике есть один прямой угол (90°). Два других угла — острые. Обозначим их α и β.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: α + β = 90°.

Внешние углы треугольника:

• Внешний угол при вершине прямого угла: 180° - 90° = 90°.
• Внешний угол при вершине угла α: 180° - α.
• Внешний угол при вершине угла β: 180° - β.

Наибольший внешний угол будет соответствовать наименьшему внутреннему углу, а наименьший внешний угол — наибольшему внутреннему углу.

Пусть α — меньший острый угол, а β — больший острый угол. Тогда:

α < β.

Следовательно, 180° - α > 180° - β.

Наибольший внешний угол = 180° - α.

Наименьший внешний угол = 180° - β.

По условию, отношение наибольшего и наименьшего внешних углов равно 8:5:

(180° - α) : (180° - β) = 8 : 5

5 * (180° - α) = 8 * (180° - β)

900° - 5α = 1440° - 8β

8β - 5α = 1440° - 900°

8β - 5α = 540°

Мы также знаем, что α + β = 90°, откуда β = 90° - α.

Подставим это в уравнение:

8 * (90° - α) - 5α = 540°

720° - 8α - 5α = 540°

720° - 13α = 540°

13α = 720° - 540°

13α = 180°

α = 180° / 13 ≈ 13.85°

Проверим, что α — меньший острый угол. Найдем β:

β = 90° - α = 90° - 180°/13 = (1170° - 180°) / 13 = 990° / 13 ≈ 76.15°.

Действительно, α < β.

Ответ: 180/13