13. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, достиг максимальной высоты 5 м и упал обратно на землю в 20 м от места броска. Чему равна максимальная скорость камня за время полёта?

Максимальная скорость достигается в момент броска и перед падением: без сопротивления воздуха модуль скорости в этих точках одинаков.

1. Время полёта найдём по максимальной высоте: \(H=gt^2/8\). При \(g=10\text{ м/с}^2\) и \(H=5\text{ м}\): \(t=\sqrt{8H/g}=2\text{ с}\).
2. Горизонтальная составляющая скорости постоянна: \(v_x=20/2=10\text{ м/с}\).
3. Начальная вертикальная составляющая: \(v_y=gt/2=10\text{ м/с}\).
4. Максимальная скорость: \(v_{\max}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt2\approx14.1\text{ м/с}\).

Ответ: примерно 14,1 м/с.