13. Решите неравенство $$\frac{x+4}{10-x} \ge 0$$. На каком из рисунков изображено множество его решений?

Решение:

Решим неравенство \( \frac{x+4}{10-x} \ge 0 \).

1. Определим знаки числителя и знаменателя. Числитель \( x+4 \) равен нулю при \( x = -4 \). Знаменатель \( 10-x \) равен нулю при \( x = 10 \).
2. Разделим числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -4] \), \( [-4; 10) \), \( (10; +\infty) \). Обратите внимание, что \( x=10 \) не входит в область допустимых значений, так как знаменатель не может быть равен нулю.
3. Проверим знаки выражения в каждом интервале:
   • При \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( \frac{-5+4}{10-(-5)} = \frac{-1}{15} < 0 \).
   • При \( -4 < x < 10 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0+4}{10-0} = \frac{4}{10} > 0 \).
   • При \( x > 10 \) (например, \( x = 11 \)): \( \frac{11+4}{10-11} = \frac{15}{-1} < 0 \).
4. Неравенство \( \frac{x+4}{10-x} \ge 0 \) выполняется, когда \( x \) находится в интервале \( [-4; 10) \).

На числовой прямой этот интервал изображается закрашенной точкой в \( -4 \) (включая) и незакрашенной точкой в \( 10 \) (не включая), с заштрихованной областью между ними.

Среди предложенных вариантов, рисунок 3 соответствует этому решению.

Ответ: 3