14. В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 14 мест, а в девятом ряду 22 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где \( a_n \) — число мест в \( n \)-м ряду, а \( d \) — разность (количество мест, увеличивающееся в каждом следующем ряду).

По условию:

• Количество рядов \( n = 15 \).
• В пятом ряду 14 мест: \( a_5 = 14 \).
• В девятом ряду 22 места: \( a_9 = 22 \).

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

1. Используем известные значения для составления системы уравнений:
   \( a_5 = a_1 + (5-1)d \Rightarrow 14 = a_1 + 4d \) (1)
   \( a_9 = a_1 + (9-1)d \Rightarrow 22 = a_1 + 8d \) (2)
2. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы найти разность \( d \):
   \( (22 - 14) = (a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) \)
   \( 8 = 4d \)
   \( d = \frac{8}{4} = 2 \) места.
3. Теперь найдём \( a_1 \) (число мест в первом ряду), подставив \( d = 2 \) в уравнение (1):
   \( 14 = a_1 + 4(2) \)
   \( 14 = a_1 + 8 \)
   \( a_1 = 14 - 8 = 6 \) мест.
4. Наконец, найдём число мест в последнем, 15-м ряду \( a_{15} \):
   \( a_{15} = a_1 + (15-1)d \)
   \( a_{15} = 6 + 14(2) \)
   \( a_{15} = 6 + 28 \)
   \( a_{15} = 34 \) места.

Ответ: 34 места.