13. Укажите решение неравенства 4x - x² < 0

Решение:

Решим неравенство \( 4x - x^2 < 0 \).

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(4 - x) < 0 \]

Найдем корни соответствующего уравнения \( x(4 - x) = 0 \):

• \( x = 0 \)
• \( 4 - x = 0 \implies x = 4 \)

Числовая ось разбивается на интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \), \( (4, \infty) \).

Проверим знаки выражения \( x(4 - x) \) на каждом интервале:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( -1(4 - (-1)) = -1(5) = -5 < 0 \).
• При \( 0 < x < 4 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(4 - 1) = 1(3) = 3 > 0 \).
• При \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( 5(4 - 5) = 5(-1) = -5 < 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть отрицательным.

Значит, решение неравенства — интервалы \( (-\infty, 0) \) и \( (4, \infty) \).

Ответ:

Ответ: \( x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \).