13. Укажите решение неравенства $$(x+3)(x-7) \le 0$$.

Задание 13

Чтобы решить неравенство $$(x+3)(x-7) \le 0$$, нам нужно найти значения $$x$$, при которых произведение двух множителей неположительно (то есть меньше или равно нулю).

Сначала найдём корни уравнения $$(x+3)(x-7) = 0$$. Корни этого уравнения:

• $$x + 3 = 0 ge x = -3$$
• $$x - 7 = 0 ge x = 7$$

Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

1. $$x < -3$$
2. $$-3 < x < 7$$
3. $$x > 7$$

Теперь определим знак произведения $$(x+3)(x-7)$$ в каждом интервале:

1. Интервал $$x < -3$$: Возьмём, например, $$x = -4$$.
• $$x+3 = -4+3 = -1$$ (отрицательный)
• $$x-7 = -4-7 = -11$$ (отрицательный)
• Произведение: $$(-1) \cdot (-11) = 11$$ (положительное).

2. Интервал $$-3 < x < 7$$: Возьмём, например, $$x = 0$$.
• $$x+3 = 0+3 = 3$$ (положительный)
• $$x-7 = 0-7 = -7$$ (отрицательный)
• Произведение: $$(3) \cdot (-7) = -21$$ (отрицательное).

3. Интервал $$x > 7$$: Возьмём, например, $$x = 8$$.
• $$x+3 = 8+3 = 11$$ (положительный)
• $$x-7 = 8-7 = 1$$ (положительный)
• Произведение: $$(11) \cdot (1) = 11$$ (положительное).

Нас интересуют значения $$x$$, при которых $$(x+3)(x-7) \le 0$$. Это означает, что произведение должно быть отрицательным или равным нулю.

Произведение отрицательно в интервале $$(-3, 7)$$.

Произведение равно нулю при $$x = -3$$ и $$x = 7$$.

Следовательно, решением неравенства является интервал $$[-3, 7]$$, включая концы.

Теперь посмотрим на предложенные варианты:

• 1) Нарисован интервал от -3 до 7, но точки -3 и 7 не включены (пустые кружки).
• 2) Нарисован интервал от -3 до 7, точки -3 и 7 включены (закрашенные кружки), а также штриховка между ними. Это соответствует нашему решению $$[-3, 7]$$.
• 3) Нарисован интервал от -3 до 7, но штриховка вне этого интервала (т.е. $$x < -3$$ или $$x > 7$$).
• 4) Нарисован интервал от -3 до 7, но точки -3 и 7 не включены, а штриховка вне интервала.

Наиболее точно соответствует решению неравенства вариант 2.

Ответ: 2