13. Упростите отношение:

Решение:

Чтобы упростить отношение, нужно привести его к виду \( a : b \), где \(a\) и \(b\) — целые числа, и их наибольший общий делитель равен 1.

1. \( 15\frac{5}{6} : 8\frac{1}{3} \)

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\( 15\frac{5}{6} = \frac{15 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{95}{6} \)

\( 8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3} \)

Теперь выполним деление дробей:

\(\frac{95}{6} : \frac{25}{3} = \frac{95}{6} \cdot \frac{3}{25} = \frac{95 \cdot 3}{6 \cdot 25} = \frac{285}{150}\)

Сократим дробь. НОД(285, 150) = 15.

\(\frac{285 \div 15}{150 \div 15} = \frac{19}{10}\)

Отношение равно \( 19 : 10 \).

2. \( 16\frac{2}{5} : 6\frac{5}{6} \)

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\( 16\frac{2}{5} = \frac{16 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{82}{5} \)

\( 6\frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{41}{6} \)

Теперь выполним деление дробей:

\(\frac{82}{5} : \frac{41}{6} = \frac{82}{5} \cdot \frac{6}{41} = \frac{82 \cdot 6}{5 \cdot 41} = \frac{492}{205}\)

Сократим дробь. НОД(492, 205) = 41.

\(\frac{492 \div 41}{205 \div 41} = \frac{12}{5}\)

Отношение равно \( 12 : 5 \).

3. \( 5\frac{1}{6} : 6\frac{8}{9} \)

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\( 5\frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{31}{6} \)

\( 6\frac{8}{9} = \frac{6 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{62}{9} \)

Теперь выполним деление дробей:

\(\frac{31}{6} : \frac{62}{9} = \frac{31}{6} \cdot \frac{9}{62} = \frac{31 \cdot 9}{6 \cdot 62} = \frac{279}{372}\)

Сократим дробь. НОД(279, 372) = 93.

\(\frac{279 \div 93}{372 \div 93} = \frac{3}{4}\)

Отношение равно \( 3 : 4 \).

4. \( 17\frac{3}{5} : 1\frac{31}{35} \)

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\( 17\frac{3}{5} = \frac{17 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{88}{5} \)

\( 1\frac{31}{35} = \frac{1 \cdot 35 + 31}{35} = \frac{66}{35} \)

Теперь выполним деление дробей:

\(\frac{88}{5} : \frac{66}{35} = \frac{88}{5} \cdot \frac{35}{66} = \frac{88 \cdot 35}{5 \cdot 66} = \frac{3080}{330}\)

Сократим дробь. НОД(3080, 330) = 110.

\(\frac{3080 \div 110}{330 \div 110} = \frac{28}{3}\)

Отношение равно \( 28 : 3 \).

Ответ: а) 19:10; б) 12:5; в) 3:4; г) 28:3.