13. Упростите выражение a/5b - 5b/a и найдите его значение при a=5√2+4, b=√2-8.

Задание 13. Упрощение выражения

Дано:

• Выражение: \( \frac{a}{5b} - \frac{5b}{a} \)
• \( a = 5\sqrt{2} + 4 \)
• \( b = \sqrt{2} - 8 \)

Найти: значение выражения.

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{a}{5b} - \frac{5b}{a} = \frac{a^2 - (5b)^2}{5ab} = \frac{a^2 - 25b^2}{5ab} \]
2. Подставим значения \( a \) и \( b \):
3. \( a^2 = (5\sqrt{2} + 4)^2 = (5\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 + 4^2 = 50 + 40\sqrt{2} + 16 = 66 + 40\sqrt{2} \)
4. \( b^2 = (\sqrt{2} - 8)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 8 + 8^2 = 2 - 16\sqrt{2} + 64 = 66 - 16\sqrt{2} \)
5. \( a^2 - 25b^2 = (66 + 40\sqrt{2}) - 25(66 - 16\sqrt{2}) = 66 + 40\sqrt{2} - 1650 + 400\sqrt{2} = -1584 + 440\sqrt{2} \)
6. \( 5ab = 5(5\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 8) = 5(5(\sqrt{2})^2 - 40\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 32) = 5(10 - 36\sqrt{2} - 32) = 5(-22 - 36\sqrt{2}) = -110 - 180\sqrt{2} \)
7. \( \frac{a^2 - 25b^2}{5ab} = \frac{-1584 + 440\sqrt{2}}{-110 - 180\sqrt{2}} \)
8. Разделим числитель и знаменатель на -22: \( \frac{72 - 20\sqrt{2}}{5 + 9\sqrt{2}} \)
9. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю \( (5 - 9\sqrt{2}) \):
10. \( \frac{(72 - 20\sqrt{2})(5 - 9\sqrt{2})}{(5 + 9\sqrt{2})(5 - 9\sqrt{2})} = \frac{360 - 648\sqrt{2} - 100\sqrt{2} + 360}{25 - 81 \cdot 2} = \frac{720 - 748\sqrt{2}}{25 - 162} = \frac{720 - 748\sqrt{2}}{-137} \)
11. \( \frac{-720 + 748\sqrt{2}}{137} \)

Ответ: \( \frac{-720 + 748\sqrt{2}}{137} \).