13. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

Пусть кредит взят на n лет. Поскольку долг в июле каждого года уменьшается на одинаковую сумму, его значения в июле образуют арифметическую последовательность: от 10 млн рублей до 0. Уменьшение за год равно 10/n млн рублей.

В начале каждого года долг возрастает на 10%. Общая сумма выплат равна первоначальному долгу плюс сумма всех начисленных процентов: 10 + 0,1 · (сумма долгов на июль перед каждым из n начислений).

Долги перед начислениями составляют первые n членов последовательности 10, 10 − 10/n, …, 10/n. Их сумма равна n(10 + 10/n)/2 = 5n + 5.

По условию 10 + 0,1(5n + 5) = 15. Тогда 10,5 + 0,5n = 15, откуда n = 9.

Ответ: 9 лет.