13. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 10√2. Запишите решение и ответ.

Обозначим через h длину большего основания AD, через x — длину меньшего основания BC, а через a — расстояние между основаниями. Так как трапеция прямоугольная и угол A равен 45°, угол D прямой.

1. Диагональ AC делит угол A пополам, поэтому угол DAC равен 22,5°. В прямоугольном треугольнике ADC: \(\tan 22.5^\circ=\frac{a}{h}\). Следовательно, \(a=h(\sqrt2-1)\).
2. В прямоугольном треугольнике ADB угол DAB равен 45°, поэтому \(AD-BC=a\), то есть \(h-x=a\). Значит, \(x=h-a=h(2-\sqrt2)\).
3. Из этих соотношений \(a=\frac{x}{\sqrt2}\). Поскольку \(x=10\sqrt2\), получаем \(a=10\).
4. Треугольник BCD прямоугольный, его катеты равны BC и CD. Поэтому \(BD=\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{(10\sqrt2)^2+10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt3\).

Ответ: \(10\sqrt3\).