15. Какое наименьшее число рёбер придётся пройти дважды, чтобы обойти все рёбра икосаэдра и вернуться в исходную вершину?

У икосаэдра 12 вершин, и в каждой сходятся 5 рёбер. Значит, степень каждой вершины нечётная. Для замкнутого обхода каждое посещаемое ребро должно образовывать эйлеров маршрут, а степени всех вершин в таком маршруте должны быть чётными.

Повторное прохождение ребра добавляет по единице к степени каждого из двух его концов. Поэтому нужно соединить повторными рёбрами все 12 нечётных вершин попарно. В графе икосаэдра есть совершенное паросочетание из 6 рёбер, так что достаточно пройти эти 6 рёбер дважды; меньше шести рёбер не хватит, чтобы исправить нечётность степеней всех 12 вершин.

Ответ: 6 рёбер.