13. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AH = 54, BC = BM. Найдите длину стороны AC.

Так как \(BH\) — высота, точка \(H\) лежит на стороне \(AC\), а \(AH=54\). Обозначим \(HC=x\). Тогда \(AC=x+54\).

Пусть \(BH=h\). Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) — середина стороны \(AC\). Поэтому \(AM=\dfrac{x+54}{2}\).

Из прямоугольных треугольников:

\[BM^2=h^2+\left(\frac{x+54}{2}-54\right)^2=h^2+\left(\frac{x-54}{2}\right)^2,\]

\[BC^2=h^2+x^2.\]

По условию \(BM=BC\), значит:

\[h^2+\left(\frac{x-54}{2}\right)^2=h^2+x^2.\]

Сократим \(h^2\) и умножим на 4:

\[(x-54)^2=4x^2.\]

Поскольку длины положительны, получаем \(54-x=2x\), откуда \(x=18\).

Тогда

\[AC=AH+HC=54+18=72.\]

Ответ: 72