1335. Проходя мимо пункта А вниз по реке, катер поравнялся с плотом. Обогнав его, катер поплыл дальше, в пункт В, которого достиг через 45 мин. Повернув обратно, катер опять встретил плот, на этот раз на расстоянии 9 км от пункта В. Определите скорость течения реки относительно берега и скорость катера относительно воды, если расстояние между пунктами А и В равно 15 км.

Пусть \(v\) — скорость катера относительно воды, а \(u\) — скорость течения.

1. Катер прошёл от \(A\) до \(B\) 15 км за 45 мин = 0,75 ч, поэтому его скорость по течению: \(v+u=\frac{15}{0{,}75}=20\) км/ч.
2. Вторая встреча произошла в 9 км от пункта \(B\), то есть на расстоянии \(15-9=6\) км от пункта \(A\).
3. С момента первой встречи плот прошёл 6 км. Время его движения равно \(\frac{6}{u}\).
4. За это же время катер прошёл 15 км по течению и 9 км против течения: \(\frac{15}{20}+\frac{9}{20-2u}=\frac{6}{u}\).
5. Решим уравнение: \(0{,}75+\frac{9}{20-2u}=\frac{6}{u}\). После преобразований получаем \(u^2-24u+80=0\).
6. Корни: \(u=4\) и \(u=20\). Значение \(u=20\) невозможно, так как скорость течения должна быть меньше скорости катера относительно воды. Следовательно, \(u=4\) км/ч.
7. Скорость катера относительно воды: \(v=20-4=16\) км/ч.

Ответ: скорость течения — 4 км/ч; скорость катера относительно воды — 16 км/ч.