1361. На каком расстоянии от собирающей линзы следует поместить предмет, чтобы расстояние от предмета до действительного изображения было наименьшим?

Решение:

Расстояние между предметом (S) и его действительным изображением (S'), формируемым собирающей линзой, будет наименьшим, когда S = S' = 2F, где F - фокусное расстояние линзы.

В этом случае расстояние между предметом и изображением будет S + S' = 2F + 2F = 4F.

Однако, вопрос звучит так: "на каком расстоянии от собирающей линзы следует поместить предмет, чтобы расстояние от предмета до действительного изображения было наименьшим?".

Общее расстояние между предметом и его действительным изображением, которое формируется собирающей линзой, равно L = S + S'.

Используя формулу тонкой линзы: 1/F = 1/S + 1/S', выразим S': 1/S' = 1/F - 1/S = (S - F) / (S * F), следовательно, S' = (S * F) / (S - F).

Теперь подставим это в выражение для L:

L = S + (S * F) / (S - F) = (S * (S - F) + S * F) / (S - F) = (S^2 - S*F + S*F) / (S - F) = S^2 / (S - F).

Чтобы найти минимальное значение L, нужно взять производную по S и приравнять ее к нулю:

dL/dS = (2S * (S - F) - S^2 * 1) / (S - F)^2 = (2S^2 - 2SF - S^2) / (S - F)^2 = (S^2 - 2SF) / (S - F)^2.

Приравнивая числитель к нулю: S^2 - 2SF = 0. Так как S не равно нулю, то S - 2F = 0, откуда S = 2F.

При S = 2F, S' = (2F * F) / (2F - F) = 2F^2 / F = 2F.

Таким образом, расстояние между предметом и изображением равно L = S + S' = 2F + 2F = 4F.

Таким образом, наименьшее расстояние между предметом и его действительным изображением достигается, когда предмет находится на расстоянии 2F от линзы, и тогда расстояние между предметом и изображением будет 4F.

Ответ: Предмет следует поместить на расстоянии 2F от собирающей линзы, чтобы расстояние от предмета до действительного изображения было наименьшим (равным 4F).