14.(2 балла) Решить уравнение 1g(x-4) + 1g (x-3) = 1g (17-3x)

Задание 14. Решение логарифмического уравнения

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. \( x - 4 > 0 \) => \( x > 4 \)
2. \( x - 3 > 0 \) => \( x > 3 \)
3. \( 17 - 3x > 0 \) => \( 17 > 3x \) => \( x < \frac{17}{3} \) => \( x < 5\frac{2}{3} \)

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( 4 < x < 5\frac{2}{3} \).

Теперь решим само уравнение. Используем свойство логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).

\[ \log ( (x-4)(x-3) ) = \log (17-3x) \]

Так как основания логарифмов одинаковы (подразумевается десятичный логарифм, \( \log = \log_{10} \)), мы можем приравнять аргументы:

\[ (x-4)(x-3) = 17-3x \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 3x - 4x + 12 = 17-3x \]

\[ x^2 - 7x + 12 = 17-3x \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 7x + 3x + 12 - 17 = 0 \]

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Попробуем по теореме Виета: сумма корней равна 4, произведение — -5. Корнями являются \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).

Теперь проверим, попадают ли эти корни в ОДЗ \( 4 < x < 5\frac{2}{3} \).

• \( x_1 = 5 \): \( 4 < 5 < 5\frac{2}{3} \) — это верно.
• \( x_2 = -1 \): \( 4 < -1 < 5\frac{2}{3} \) — это неверно.

Следовательно, корень \( x = -1 \) является посторонним.

Ответ: \( x = 5 \).