15. (3 балла) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4-х² и у=x+2

Задание 15. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя линиями, сначала нужно найти точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\[ 4 - x^2 = x + 2 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 4 - x^2 - x - 2 = 0 \]

\[ -x^2 - x + 2 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим это уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение — -2. Корнями являются \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \).

Эти значения \( x \) будут пределами интегрирования.

Теперь нужно определить, какая функция находится выше на данном интервале. Можно подставить любое значение между -2 и 1, например, \( x = 0 \).

• Для \( y = 4 - x^2 \): \( y = 4 - 0^2 = 4 \).
• Для \( y = x + 2 \): \( y = 0 + 2 = 2 \).

Так как \( 4 > 2 \), то функция \( y = 4 - x^2 \) находится выше на интервале \( [-2, 1] \).

Площадь фигуры вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций по соответствующему интервалу:

\[ S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) dx \]

\[ S = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) dx \]

\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \]

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив верхний и нижний пределы:

\[ S = F(1) - F(-2) \]

\[ F(1) = -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \]

\[ F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 \]

Теперь вычтем \( F(-2) \) из \( F(1) \):

\[ S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) \]

\[ S = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6 \]

Приведем к общему знаменателю (6):

\[ S = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} - \frac{16}{6} + \frac{36}{6} \]

\[ S = \frac{-2 - 3 + 12 - 16 + 36}{6} = \frac{27}{6} \]

Сократим дробь:

\[ S = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5.