14. (2 балла) Решите неравенство log_1/7 (2x + 3) ≥ log_1/7 (3x - 2)

Решение:

Данное неравенство содержит логарифмы с основанием \( \frac{1}{7} \). Так как основание \( 0 < \frac{1}{7} < 1 \), при переходе от логарифмического неравенства к алгебраическому, знак неравенства меняется на противоположный.

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для аргументов логарифмов:

1. \( 2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -\frac{3}{2} \)
2. \( 3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3} \)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x > \frac{2}{3} \).

Теперь решим само неравенство, поменяв знак:

\[ 2x + 3 \le 3x - 2 \]

Перенесём члены уравнения:

• \( 3 + 2 \le 3x - 2x \)
• \( 5 \le x \)

Теперь пересечём полученное решение \( x \ge 5 \) с ОДЗ \( x > \frac{2}{3} \).

\( x \ge 5 \) и \( x > \frac{2}{3} \) ⇒ \( x \ge 5 \).

Ответ: \( [5; +\infty) \).