14.4. Решите уравнение sin(3x+π)=−1 и укажите верный ответ:

Краткое пояснение:

Для решения уравнения вида $$ \sin(\alpha) = -1 $$ мы знаем, что $$ \alpha $$ должно равняться $$ \frac{3\pi}{2} + 2\pi m $$, где $$ m $$ — любое целое число. Затем мы приравниваем аргумент синуса к этому выражению и решаем относительно $$ x $$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приравниваем аргумент синуса к $$ \frac{3\pi}{2} + 2\pi m $$.
   $$ 3x + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m $$
2. Шаг 2: Вычитаем $$ \frac{\pi}{2} $$ из обеих частей уравнения.
   $$ 3x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi m $$
   $$ 3x = \frac{2\pi}{2} + 2\pi m $$
   $$ 3x = \pi + 2\pi m $$
3. Шаг 3: Делим обе части на 3.
   $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$, где $$ m \in \mathbb{Z} $$.

Верный ответ:

• а) $$ 2\pi $$: Неверно.
• б) $$ -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $$: Это верно, так как $$ -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} = \frac{- \pi + 2 \pi m}{3} $$. Если $$ m = 1 $$, то $$ x = \frac{\pi}{3} $$. Если $$ m = 0 $$, то $$ x = -\frac{\pi}{3} $$. Если $$ m = 2 $$, то $$ x = \frac{3\pi}{3} = \pi $$.
  Давайте перепроверим.
  $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$
  При $$ m = 0 $$, $$ x = \frac{\pi}{3} $$.
  При $$ m = 1 $$, $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi $$.
  При $$ m = 2 $$, $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $$.
  Теперь рассмотрим вариант б) $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$.
  При $$ m = 1 $$, $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $$.
  При $$ m = 2 $$, $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi $$.
  При $$ m = 3 $$, $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $$.
  Оба варианта дают схожие решения, но нам нужно найти точное соответствие.
  Давайте еще раз проанализируем $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$.
  Если $$ m $$ принимает значения 0, 1, 2, ..., то $$ x $$ принимает значения $$ \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, ... $$.
  Вариант б) $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$.
  Если $$ m $$ принимает значения 0, 1, 2, ..., то $$ x $$ принимает значения $$ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, ... $$.
  Важно, что $$ \frac{\pi}{3} $$ является общим решением.
  Вариант б) $$ -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$ выглядит более полным.
  Если $$ m=1 $$, $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $$.
  Если $$ m=2 $$, $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \pi $$.
  Если $$ m=3 $$, $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $$.
  Наше полученное решение $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$.
  При $$ m=0 $$, $$ x = \frac{\pi}{3} $$.
  При $$ m=1 $$, $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi $$.
  При $$ m=2 $$, $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $$.
  Вариант б) $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3} $$ действительно включает все эти значения. Например, если взять $$ m' = m-1 $$, то $$ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi (m'+1)}{3} = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m'}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m'}{3} $$. Это показывает, что решения эквивалентны.
• г) $$ \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $$: Неверно.
• д) $$ -\frac{\pi}{3} $$: Неверно.

Ответ: б) $$ -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $$