14. а) Решите уравнение 2^(4 sin² x + 1) + 2^(4 cos² x) = 18. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

а) Обозначим t = 4 cos² x. Так как sin² x + cos² x = 1, то 4 sin² x + 1 = 5 − t. Уравнение принимает вид 2^5−t + 2^t = 18.

Положим y = 2^t. Тогда 2^5−t = 32/y, поэтому 32/y + y = 18, или y² − 18y + 32 = 0. Отсюда y = 16 или y = 2.

Следовательно, t = 4 или t = 1. В первом случае cos² x = 1, откуда x = kπ. Во втором случае cos² x = 1/4, откуда x = kπ ± π/3, где k — целое число.

б) На отрезок [2π; 7π/2] попадают корни: 2π, 7π/3, 8π/3, 3π, 10π/3.

Ответ: а) x = kπ или x = kπ ± π/3, k ∈ ℤ; б) 2π, 7π/3, 8π/3, 3π, 10π/3.