14. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 см, прилежащий угол равен 60°, и диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции.

Пусть в равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC, а AB = CD = 4 см. Диагональ AC делит угол A пополам.

1. ∠A = 60°, поэтому ∠BAC = ∠DAC = 30°.
2. Поскольку BC ∥ AD, накрест лежащие углы равны: ∠ACB = ∠DAC = 30°. Значит, в треугольнике ABC углы A и C равны, поэтому противолежащие им стороны BC и AB равны. Следовательно, BC = 4 см.
3. Высота трапеции равна 4 sin 60° = 2√3 см. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны на основание равна √(4² − (2√3)²) = 2 см. Поэтому AD = BC + 2 + 2 = 8 см.
4. Периметр: P = AB + BC + CD + AD = 4 + 4 + 4 + 8 = 20 см.

Ответ: 20 см.