14. Каждый день больной заражает четырех человек, каждый из которых, начиная со следующего дня, каждый день также заражает новых четырех и так далее. Болезнь длится 14 дней. В первый день месяца в город N приехал заболевший гражданин К, и в это же день он заразил четырех человек. В какой день станет 3125 заболевших? (В ответе укажите только число.)

Question

Accepted Answer

Это задача на геометрическую прогрессию.

В первый день (день 1) заболел 1 человек (гражданин К).
В этот же день он заразил 4 человек.
Начиная со второго дня (день 2), каждый из заболевших заражает 4 новых человека.
Количество новых заболевших каждый день: 4, 4*4, 4*4*4, ... , 4^n.
Общее количество заболевших по дням:

Общее количество заболевших на \( n \)-й день является суммой геометрической прогрессии: \( S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \), где \( a_1 = 1 \) (первый заболевший), \( q = 4 \) (коэффициент заражения), \( n \) — количество дней, прошедших с момента первого заражения.
Нам нужно найти такой день, когда общее количество заболевших станет 3125.
\( 3125 = 1 \cdot \frac{4^n - 1}{4 - 1} \)
\( 3125 = \frac{4^n - 1}{3} \)
\( 3125 \cdot 3 = 4^n - 1 \)
\( 9375 = 4^n - 1 \)
\( 9376 = 4^n \)
Попробуем подобрать \( n \):

\( 4^1 = 4 \)
\( 4^2 = 16 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 4^4 = 256 \)
\( 4^5 = 1024 \)
\( 4^6 = 4096 \)
\( 4^7 = 16384 \)

Необходимо проверить условие, что гражданин К заразил 4 человек в первый день. Тогда в первый день всего 1+4=5 заболевших.
Формула суммы геометрической прогрессии для общего числа заболевших будет: \( S_n = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{n-1} \), где \( n \) — номер дня.
\( S_n = \frac{4^n - 1}{4-1} \).
Нам нужно найти \( n \), при котором \( S_n = 3125 \).
\( 3125 = \frac{4^n - 1}{3} \)
\( 9375 = 4^n - 1 \)
\( 9376 = 4^n \)
Проверим степени четверки:

Не получается точное совпадение. Перечитаем условие: "В первый день месяца в город N приехал заболевший гражданин К, и в это же день он заразил четырех человек."
Значит, в День 1: 1 (сам К) + 4 (зараженные им) = 5 заболевших.
День 2: 5 (зараженные в 1-й день) * 4 = 20 новых. Всего: 5 + 20 = 25.
День 3: 20 (зараженные во 2-й день) * 4 = 80 новых. Всего: 25 + 80 = 105.
Это прогрессия вида \( 5, 20, 80, ... \), где \( a_1 = 5 \) и \( q = 4 \).
Сумма \( S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \).
\( 3125 = 5 \frac{4^n - 1}{4 - 1} \)
\( 3125 = 5 \frac{4^n - 1}{3} \)
\( \frac{3125}{5} = \frac{4^n - 1}{3} \)
\( 625 = \frac{4^n - 1}{3} \)
\( 625 \cdot 3 = 4^n - 1 \)
\( 1875 = 4^n - 1 \)
\( 1876 = 4^n \)
Проверим степени четверки:

Опять не получается.
Рассмотрим другой подход. Пусть \( N_d \) — количество новых заболевших в день \( d \).
\( N_1 = 4 \) (заразил К).
\( N_2 = 4 \times 4 = 16 \).
\( N_3 = 16 \times 4 = 64 \).
\( N_d = 4^d \).
Общее количество заболевших на \( k \)-й день (включая К) — это \( 1 + \sum_{d=1}^{k-1} 4^d \).
\( 3125 = 1 + \sum_{d=1}^{k-1} 4^d \)
\( 3124 = \sum_{d=1}^{k-1} 4^d \)
Это сумма геометрической прогрессии с \( a_1 = 4 \), \( q = 4 \) и \( k-1 \) членами.
\( 3124 = 4 \cdot \frac{4^{k-1} - 1}{4 - 1} \)
\( 3124 = 4 \cdot \frac{4^{k-1} - 1}{3} \)
\( 3124 \cdot 3 = 4 \cdot (4^{k-1} - 1) \)
\( 9372 = 4 \cdot 4^{k-1} - 4 \)
\( 9376 = 4^k \)
Мы снова получили \( 9376 = 4^k \).
Проверим степени четверки:

\( 4^1 = 4 \)
\( 4^2 = 16 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 4^4 = 256 \)
\( 4^5 = 1024 \)
\( 4^6 = 4096 \)
\( 4^7 = 16384 \)

Ни одно целое \( k \) не дает точного совпадения.
Возможно, условие "Болезнь длится 14 дней" является ключом.
Сумма заболевших на \( k \)-й день (включая К): \( 1 + 4 + 16 + ... + 4^{k-1} \).
\( S_k = \frac{4^k - 1}{3} \)
Если \( S_k = 3125 \), то \( 4^k - 1 = 9375 \), \( 4^k = 9376 \).
Проверим, если \( k=6 \), то \( S_6 = \frac{4^6 - 1}{3} = \frac{4096 - 1}{3} = \frac{4095}{3} = 1365 \).
Если \( k=7 \), то \( S_7 = \frac{4^7 - 1}{3} = \frac{16384 - 1}{3} = \frac{16383}{3} = 5461 \).
Таким образом, число заболевших 3125 находится между 6 и 7 днями.
Перечитаем условие: "В первый день месяца ... он заразил четырех человек. В какой день станет 3125 заболевших?"
Возможно, имеется в виду, когда суммарное количество ЗАРАЖЕННЫХ (а не новых) достигнет 3125.
Давайте попробуем посчитать количество ЗАРАЖЕННЫХ за каждый день:

Ответ: 5