15. Найдите угол ADC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

Решение:

Дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC || AD. Известно, что \( \angle ACB = 30^{\circ} \) и \( \angle BAC = 50^{\circ} \).

1. Найдем \( \angle CAD \). Так как BC || AD, то \( \angle CAD = \angle ACB \) как накрест лежащие углы при секущей AC. Следовательно, \( \angle CAD = 30^{\circ} \).
2. Найдем \( \angle DAB \). \( \angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = 50^{\circ} + 30^{\circ} = 80^{\circ} \).
3. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, \( \angle ABC = \angle DAB = 80^{\circ} \) и \( \angle BCD = \angle ADC \).
4. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°. Поэтому \( \angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ} \).
5. \( 80^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ} \)
6. \( \angle BCD = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
7. Так как \( \angle BCD = \angle ADC \) в равнобедренной трапеции, то \( \angle ADC = 100^{\circ} \).

Ответ: 100°